超脱无道 第321章 续写（3）

绝对无穷Ω：

理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数，在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落，不要与序数中的第一不可序列数搞混

格罗滕迪克宇宙：

让我们把格罗滕迪克宇宙的定义说清楚吧。

ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:

1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)

2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)

3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)

4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)

5.U∈V (V的元素)

6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是?i∈If(i )的缩写。

ω是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。

但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。

low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。

不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 κ 会使得 Vκ?ZFC. 它可以断言 Con(ZFC)

复宇宙：

假没M是一个由ZFC模型组成的非空类： 我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：

⑴可数化公理

⑵伪良基公理

⑶可实现公理

⑷力迫扩张公理

⑸嵌入回溯公理

对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。 对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G?P为V-generico 对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V?Wθ?W对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。 从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。 在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。

脱殊复宇宙：

令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙V?为满是以下条件的最小模型类：

⒈M∈V?

2如果N∈V?，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈V?

3如果N∈V?，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈V?

简单说，V?是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。 也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。

脱殊扩张V(V[G])：

脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。

复复宇宙：

存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙 于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……

逻辑多元：

V-逻辑(V-logic)， V-逻辑具有以下的常元符号:

a?表示V的每一个集合a V?表示宇宙全体集合容器V

在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

?b,b∈a，Ψ(b?)├?x∈a?，Ψ(x) ?a,b∈V，Ψ(a?)├?x∈v?，Ψ(x)

作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号aread-normal-img，?和表示V本身的常元符号V?，而且还有一个常元符号W?来表示V的“外模型”我们增加以下新公理。

1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。

2.W?是ZFC的一个传递模型，包含V?作为子集，并且与V有相同的序数。

因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙,其中V?被正确地解释为V，W?被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V =La(V)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“W?满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。

最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V (V-逻辑 ZFC的模型)也就是逻辑多元，V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑 ZFC的模型）这种东西……